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把数学看懂。

• 总量＝部分量之和
• 差＝较大量－较小量
• 每份量×份数＝总量

使用提示先设真正所求的量为 x，同一个量用两种方式表示，就能列出等式。

• 每份量＝总量÷总份数
• 较大数＝（和＋差）÷2
• 较小数＝（和－差）÷2
• 数量＝对应份数×每份量

使用提示先把比的顺序写清，再用“和、差或不变量”找到一份。

• 利润＝售价－成本
• 利润率＝利润÷成本×100%
• 售价＝定价×折扣
• 总利润＝单件利润×销量

使用提示百分数要先确认基数；利润率通常以成本为基数。

• 工作总量＝工作效率×工作时间
• 合作效率＝各自效率之和
• 单独效率＝1÷单独完成时间

使用提示未知总量时可设为 1 或各工期的最小公倍数。

• 路程＝速度×时间
• 相遇路程＝速度和×时间
• 追及路程＝速度差×时间
• 平均速度＝总路程÷总时间

使用提示先画方向和起点：距离缩短用速度和，距离扩大或追赶用速度差。

• 火车过桥路程＝车长＋桥长
• 火车过人路程＝车长
• 顺水速度＝船速＋水速
• 逆水速度＝船速－水速

使用提示分段行程要分段记录路程、速度和时间，最后再用总量连接。

• 浓度＝溶质量÷溶液量×100%
• 溶质量＝溶液量×浓度
• 溶液量＝溶质量＋溶剂量
• 混合后溶质量＝各溶液溶质量之和

使用提示加水时溶质不变，蒸发水时溶质不变；取出均匀溶液时浓度不变。

• 至少保证数＝最坏情况最大数＋1
• 均分上限：N＝kn＋r （0≤r＜n）
• 至少有一类不少于 ⌈N÷n⌉

使用提示“至少保证”先构造目标还没发生时的最坏情况。

• 分类计数：N＝N₁＋N₂＋…
• 分步计数：N＝N₁×N₂×…
• Aⁿₘ＝n!/(n−m)!
• Cⁿₘ＝n!/[m!(n−m)!]

使用提示有顺序用排列，只选不排用组合；互斥分类相加，连续分步相乘。

• n 个对象不相邻：先排其他对象再插空
• 相同对象分成 k 组（每组至少1）：Cⁿ⁻¹ₖ₋₁
• 允许空组：Cⁿ⁺ᵏ⁻¹ₖ₋₁

使用提示插空法先排不受限的对象；同素分配要先看每组能否为 0。

• n 个元素环排：(n−1)!
• 双向同一的环排：(n−1)!/2
• n 个人两两握手：Cⁿ₂＝n(n−1)/2
• 网格最短路：Cᴿᴮ⁺ᵇ

使用提示固定顺序先从总排列中消除重复；配对和路径要确认方向是否区分。

• P(A)＝事件 A 的等可能结果数÷全部等可能结果数
• P(Ā)＝1−P(A)
• P(A∪B)＝P(A)＋P(B)−P(A∩B)
• P(A|B)＝P(A∩B)÷P(B)

使用提示条件变了，样本空间也要重新确定；分子、分母必须使用同一口径。

• 总量＝完整周期数×周期长＋余数
• 目标位置＝总位置 mod 周期长
• 同时重复周期＝各周期长的最小公倍数

使用提示先完整写出一个周期，并特别确认余数为 0 时对应周期末位。

• 三角形面积＝底×高÷2
• 勾股定理：a²＋b²＝c²
• 相似比＝对应边比
• 相似图形面积比＝相似比²

使用提示先标注平行、垂直、等角和等长，再判断全等、相似或勾股。

• 平行四边形面积＝底×高
• 梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2
• 圆面积＝πr²
• 扇形面积＝n/360°×πr²

使用提示复杂面积先找等高、共底或可以割补、旋转后重合的部分。

• 长方体体积＝abc
• 柱体体积＝底面积×高
• 圆柱体积＝πr²h
• 球体积＝4πr³/3；球表面积＝4πr²

使用提示求表面积时只算外露的面；切割会增加新面，拼接会隐藏接触面。

• 涂色小方块：按顶点、棱、面、内部分类
• 兑换问题：净消耗＝兑换所需数－返回数
• 两人零和博弈：先找必胜态与必败态
• 最小连网：节点全连通且边权和最小

使用提示特殊题不靠背场景；先把题意改写成“每步如何改变状态”。

• 等差数列：aₙ＝a₁＋(n−1)d
• 等比数列：aₙ＝a₁qⁿ⁻¹
• 前 n 个等差数列和：Sₙ＝n(a₁＋aₙ)/2
• 递推数列：aₙ＝f(aₙ₋₁, aₙ₋₂, …)

使用提示依次检查一阶差、二阶差、比值、奇偶位、分组、幂次和递推。